Postulaty i metafory. Dwie wizje podstaw matematyki – Jerzy Pogonowski

Drogi Czytelniku, jeśli interesujesz się poznaniem matematycznym lub kognitywistyką (najlepiej jednym i drugim), to jest to książka dla Ciebie. Są w niej opisane zagadnienia dotyczące podstaw matematyki i jej genezy. Całość tej problematyki ujęto na zasadzie kontrastu w dwóch różnych esejach. W pierwszym dowiesz się o interesujących i jednocześnie mało znanych faktach dotyczących działalności naukowej pewnej grupy matematyków, zwanych postulatystami amerykańskimi. Przyczynili się oni w znacznym stopniu do powstania dwóch bardzo ważnych pojęć metalogicznych: zupełności i kategoryczności.

Esej drugi ma zupełnie inny charakter. Tutaj główną rolę pełnią metafory poznawcze. Ten esej zapewne przypadnie do gustu sympatykom nauk kognitywnych. Pada tam wiele argumentów za tym, że nasz umysł jest ucieleśniony, a zatem natura naszych ciał, mózgów oraz codziennego funkcjonowania kształtuje ludzkie pojęcia i rozumowania, w szczególności matematyczne. Stąd ma wynikać, że matematyka jest także ucieleśniona (ludzka). Taka koncepcja matematyki, która stanowi notabene zanegowanie podejścia prezentowanego w eseju pierwszym, jest pod dana krytycznej polemice ze strony Autora. Trudno się nie zgodzić z argumentacją Jerzego Pogonowskiego, że za pomocą proponowanych metafor nie da się uzyskać bardzo wielu procesów i pojęć matematycznych. W pięknym stylu zostaje zakwestionowana jedna z najważniejszych metafor, zwana metaforą BMI.

Jest to, według mojej wiedzy, jedyna książka w języku polskim, która w taki niekonwencjonalny sposób prezentuje najważniejsze pojęcia z obszarów metalogiki i logiki matematycznej.

dr hab. Robert Sochacki
Uniwersytet Opolski

• Jerzy Pogonowski – Postulaty i metafory. Dwie wizje podstaw matematyki

• ISBN: 978-83-64902-98-7
• 152 strony
• Wydawnictwo Nauk Społecznych i Humanistycznych Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
• Poznań 2021

[tabs]
[tab title=”Spis treści”]

Spis treści

Przedmowa  |  7

Rozdział 1. Postulatysci amerykańscy  |  13

• Uwagi wstępne |  13
• Metodologia |  15
• Eliakim Hastings Moore |  18
• Edward Vermilye Huntington |  19
• Prace algebraiczne |  21
• Prace geometryczne |  25
• Prace dotyczące porządku |  34
• Algebra logiki |  35
• Oswald Veblen |  36
• System aksjomatów dla geometrii |  36
• Idee metalogiczne Veblena |  41
• Leonard Eugene Dickson |  43
• Robert Lee Moore |  44
• Inni autorzy |  45
• Oddziaływanie |  47
• Ustalenia Scanlana |  48
• Inne wybrane komentarze |  53
• Prace logiczne w Europie |  56
• Niektóre prace matematyczne ówczesne i późniejsze . |  59
• Wyniki dotyczące niezupełności |  60
• Prace Tarskiego |  63
• Rozwój teorii modeli |  67
• Słowo kotkowe |  68

Bibliografia rozdziału 1  |  69

Rozdział 2. Matematyczne metafory kognitywistów  |  73

• Wstęp |  73
• Matematyka ucieleśniona: założenia i metody |  73
• Matematyka ucieleśniona: propozycje |  79
• Zamierzenia autorów |  79
• Arytmetyka |  82
• Algebra, logika, zbiory |  83
• Liczby rzeczywiste i granice |  84
• Liczby pozaskończone |  85
• Wielkości nieskończenie małe |  86
• Punkty i kontinuum |  87
• Ciągłość dla liczb: metafora Dedekinda |  90
• Ciągłość „naturalna” i metafory Weierstrassa |  92
• Rozumienie wzoru Eulera eⁱⁿ + 1 = 0 |  94
• Konkluzje autorów |  95
• Matematyka ucielesśniona: krytyka |  100
• Wyzwania i wątpliwości matematyczne  |  100
• Wątpliwości filozoficzne |  128
• Recenzje |  130
• Matematyczny umysł i matematyczny świat |  138
• Uwagi o dydaktyce matematyki |  143
• Garść metafor matematycznych |  145
• Słowo końcowe |  146

Bibliografia rozdziału 2  |  148

[/tab]
[tab title=”Przedmowa”]

Przedmowa

Niniejszy tom opracowany został w ramach projektu badawczego NCN nr 2015/17/B/HS1/02232 Aksjomaty ekstremalne: aspekty logiczne, matematyczne i kognitywne. Zawiera dwa eseje napisane w ostatnich kilku latach, przy czym pierwszy z nich powstał w trakcie realizacji projektu, natomiast drugi jest uzupełnioną i poprawioną wersja tekstu, który ukazał się przed rozpoczęciem projektu w internetowym czasopiśmie lingwistycznym (Pogonowski 2011).

Postulatyści amerykanscy. Omawiam prace niektórych matematyków amerykanskich, publikowane w trzech pierwszych dekadach XX wieku w Transactions of the American Mathematical Society. Prace te łączy to, ze dotyczą one ustanawiania zestawów postulatów dla waznych teorii matematycznych (przede wszystkim w algebrze i geometrii). Ich autorów zwykło nazywać się – za propozycją Johna Corcorana – postulatystami amerykanskimi. Najbardziej znanymi przedstawicielami tej grupy byli: Eliakim Hastings Moore, Edward Vermilye Huntington, Oswald Veblen oraz Leonard Eugene Dickson. Znakomite omówienie niektórych ich dokonali zawierają artykuły: Scanlan 1991, 2003. W niniejszym tekście szczególna uwagę poświęcam tym aspektom prac owych matematyków, które wiążą się z problematyką jednoznacznego określenia modeli zamierzonych teorii matematycznych. Tematyka tego eseju omawiana była w nastepujacych odczytach:

1. Postulatysci amerykańscy. LXII Konferencja Historii Logiki, Uniwersytet Jagiellonski, Kraków, 25-26 października 2016.
2. On the origin of metalogical notions: the case of American Postulate Theorists. Logic and Cognition 2, Adam Mickiewicz University, Poznań, 5-6 września 2016.

Matematyczne metafory kognitywistów. Dziele się z czytelnikiem garścia uwag krytycznych na temat proponowanej przez niektórych kognitywistów (Lakoff i Nuńez 2000: Where Mathematics Comes From. How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being) koncepcji ucieleśnionej matematyki. Wspomniani autorzy próbują redukować genezę oraz uprawianie matematyki do konstruowania swoistych metafor pojęciowych. Czterdzieści lat temu zaproponowano ciekawa koncepcje tworzenia i funkcjonowania metafor pojęciowych w lingwistyce (Lakoff i Johnson 1980: Metaphors we live by). Obecnie Lakoff i Nuńez próbują stosować ową teorie metafor do analizowania twórczości matematycznej. Polemizuje z ich wizja teorii ucieleśnionej matematyki oraz z wysnuwanymi przez nich konkluzjami filozoficznymi. Niektóre z tych uwag krytycznych podawałem w Pogonowski 2011, 2012, 2017. Dodać wypada, że w ostatnich latach znajdujemy w literaturze przedmiotu bardzo zróżnicowane oceny propozycji Lakoffa i Nuńeza: od entuzjastycznych po wielce krytyczne. Tematyka tego eseju omawiana była w następujących odczytach:

1. Metafory pojęciowe w matematyce. 10 Polski Zjazd Filozoficzny, Poznali, 15-19 września 2015.
2. Pojęciowy obraz świata w matematyce. Konferencja Język, Kultura, Komunikacja, Studium Języków Obcych Politechniki Opolskiej, Opole, 29 września 2014.
3. Metafory poznawcze w matematyce. Seminarium Dydaktyki Matematyki Szkoły Wyższej, Instytut Matematyki, Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN, Kraków, 24 października 2013.
4. Matematyczne fantazje kognitywistów. Kolokwium Logiczne II, Uniwersytet Wrocławski, Wrocław, 14-15 czerwca 2013.
5. Metafory matematyczne. 58 Konferencja Historii Logiki, Uniwersytet Jagielloński, Kraków, 23-24 października 2012.
6. Geneza matematyki wedle kognitywistów. Seminarium Zakładu Logiki Stosowanej UAM, Poznań, 23 listopada 2011.

Adresatami obu esejów sa ci specjaliści nauk kognitywnych, którzy interesuje się poznaniem matematycznym. Pierwszy esej dotyczy szczególnego okresu w historii matematyki, w którym metoda aksjomatyczna, obecna wcześniej właściwie jedynie w Elementach Euklidesa, zaczyna być podstawowa metodą uprawiania matematyki. Od drugiej połowy XIX wieku coraz wyraźniejsze staje się traktowanie matematyki jako nauki o różnego rodzaju strukturach. Warto przy tym zwrócić uwagę na następujące odróżnienie. Pewne struktury matematyczne są wyróżnione i metoda aksjomatyczna miałaby scharakteryzować je w sposób jednoznaczny. Dotyczyło to liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oraz systemu geometrii euklidesowej. Inne typy struktur, np. grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie topologiczne, tworzą klasy, które miały być charakteryzowane jedynie ogólnie przez odpowiednie aksjomaty. Oba rodzaje takich charakterystyk obecne są w omawianych w tym eseju pracach postulatystów amerykańskich, zwłaszcza Edwarda Huntingtona i Oswalda Veblena. Interesujące jest przy tym wyłanianie się pewnych pojęć metalogicznych, przede wszystkim kategoryczności oraz różnych odmian zupełności. Pojęcia te uzyskują precyzyjne sformułowania i badane są dokładniej dopiero nieco później, w pierwszej połowie XX wieku. O roli prac postulatystów amerykanistkach w podstawach matematyki, zwłaszcza w odniesieniu do aksjomatów ekstremalnych, pisałem w Pogonowski 2019.

Drugi esej dotyczy sformułowanej w końcu XX wieku koncepcji matematyki ucieleśnionej, która miałaby, w zamierzeniu i deklaracjach jej twórców, wyjaśniać genezę i funkcjonowanie abstrakcyjnej matematyki. Przedstawiam główne założenia i twierdzenia tej koncepcji, ale większa cześć eseju poświęcam jej krytyce. Metafory pojęciowe dobrze tłumaczą szereg zjawisk obserwowanych na terenie lingwistyki, natomiast nie maja takiej samej mocy objaśniającej w obszarze matematyki, co staram się pokazać. Tworzenie metafor pojęciowych nie jest, w moim przekonaniu, głównym mechanizmem rozwoju matematyki. W dziejach tej dyscypliny obserwujemy nie tylko procesy tworzenia nowych pojęć wraz z ich charakterystyka na drodze dedukcyjnej, ale także procesy ustalania, co jest poprawna metoda badan matematycznych. Sadze, ze koncepcja matematyki ucieleśnionej nie zdaje adekwatnie sprawy z natury tych procesów. Genezę i funkcjonowanie matematyki można oczywiście próbować opisywać na gruncie filozofii, nauk kognitywnych lub nauk o kulturze, w każdym jednak przypadku nie wolno zapominać o specyfice myślenia matematycznego, które w odniesieniu do twórczości profesjonalnych matematyków rekonstruować możemy na podstawie analizy tekstów źródłowych. Wyjaśnienia wykorzystujące metafory pojęciowe mogą być użyteczne np. w dydaktyce matematyki oraz jej popularyzacji, które to aktywności należą nie do kontekstu odkrycia lub uzasadniania, lecz do kontekstu przekazu. Ten ostatni termin wprowadziłem w pracy Pogonowski 2016 (zob. także Pogonowski 2018 oraz rozdział 8 w Pogonowski 2019).

Już po oddaniu niniejszego tomu do druku zapoznałem się z książką Hohola 2020 prezentującą podstawy poznania geometrycznego z perspektywy nauk kognitywnych. Jej autor, który wcześniej dość entuzjastycznie odnosił się do propozycji Lakoffa i Nuneza, wskazuje tym razem na pewne istotne ograniczenia ich podejścia. Recenzję książki Hohola 2020 przedstawiam w Pogonowski 2021.

Dwa eseje zamieszczone w tym tomie dobrano na zasadzie kontrastu, jako przykłady odmiennych podejść do podstaw matematyki. Na temat różnych wizji takich podstaw istnieje olbrzymia literatura, lecz jej omówienie nie było moim zamiarem w niniejszej pracy. Znakomitą analizę dwóch paradygmatów matematyki zawiera książka Batóg 2000. Rozróżniane przez Tadeusza Batoga paradygmaty to: Euklidesowy i logiczno-teoriomnogościowy. Ten pierwszy obowiązywał w matematyce do końca XIX wieku. Przeprowadzane w jego ramach rozumowania opierały się często na faktach uznawanych za oczywiste i wykorzystywały rysunki. Najważniejszą cecha następującego po Euklidesowym paradygmatu logiczno-teoriomnogościowego jest uprawianie matematyki na drodze w pełni zaksjomatyzowanej.

Tadeusz Batóg zwraca uwagę, że na przejście od pierwszego do drugiego paradygmatu miały wpływ takie czynniki, jak: powstanie teorii mnogości oraz logiki matematycznej, arytmetyzacja analizy, opracowanie aksjomatycznych teorii systemów liczbowych oraz systemów geometrii. W ramach paradygmatu logiczno-teoriomnogościowego w sposób wyraźny oddziela się składnie od semantyki, wykorzystuje się precyzyjnie zdefiniowane pojęcia dowodu oraz wynikania, odróżnia się teorie od metateorii. W tym paradygmacie możliwa stała się także refleksja metateoretyczna, ukazująca możliwości i obiektywne ograniczenia metody aksjomatycznej. Tadeusz Batóg uważa, ze teoria kategorii, przez niektórych uznawana za kolejny nowy paradygmat matematyki, nie dokonała jednak w matematyce przełomu porównywalnego z tym, który dokonał się za sprawa logiki i teorii mnogości. Dodaje także, ze współczesne koncepcje filozofii matematyki odwołują się przede wszystkim do paradygmatu logiczno-teoriomnogościowego. Pierwszy esej w tym tomie dotyczy badan prowadzonych właśnie w początkach tego paradygmatu, który dominuje również obecnie. Natomiast esej drugi dotyczy koncepcji, która w moim przekonaniu nie odegra znaczącej roli w rozważaniach nad podstawami matematyki. Nie jest ona paradygmatem w tym znaczeniu, o którym pisze Batóg. Jest koncepcja wobec matematyki zewnętrzna, próbująca analizować podstawy matematyki za pomocą pojęć i środków, które dobrze zdały egzamin w eksplikacjach lingwistycznych, ale które moim zdaniem nie oddają specyfiki genezy i funkcjonowania matematyki.

Różne wizje podstaw matematyki omawiane są także na gruncie poszczególnych stanowisk w filozofii matematyki, przedstawionych np. w znakomitej antologii Murawski 2002. Zarówno stanowiska dziś już klasyczne (logicyzm, formalizm, intuicjonizm), jak tez nowsze (np. różne wersje empiryzmu) przedstawiają spójne poglądy na istotę matematyki, przy czym może ważniejsza od akceptowania całości takich poglądów jest analiza argumentacji przedkładanych w ramach tych stanowisk. Dla przykładu, w książce Davis i Hersh 1994 omawia się trudności, jakie klasyczne stanowiska w filozofii matematyki maja z eksplikacją pojęcia intuicji matematycznej.

Poglądy matematyków i filozofów dotyczące podstaw matematyki omawiane są również w monografiach dziejów matematyki (np. Kline 1972) oraz innych opracowaniach (np. Shapiro 2005). Ponieważ, jak już pisałem, nie było moim zamierzeniem prezentowanie w tym tomie stanu badan nad podstawami matematyki, uprzejmie zachęcam ewentualnego czytelnika do sięgnięcia do wspomnianych źródeł.

Prace cytowane w przedmowie

• Batóg, T. (2000). Dwa paradygmaty matematyki. Studium z dziejów i filozofii matematyki. Poznam Wydawnictwo Naukowe UAM.
• Davis, P., Hersh, R. (1994). Świat matematyki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
• Hohol, M. (2020). Foundations of geometrie cognition. London and New York: Routledge.
• Kline, M. (1972). Mathematieal thoughtfrom aneient to modern times. New York, Oxford: Oxford University Press.
• Lakoff, G., Johnson, M. (1980). Metaphors we live by. Chicago: University of Chicago Press.
• Lakoff, G., Nunez, R. (2000). Where mathematies eomesfrom. How the embodied mind brings mathematies into being. New York: Basic Books.
• Murawski, R. (2002). Współczesna filozofia matematyki. Warszawa: PWN.
• Pogonowski, J. (2011). Geneza matematyki wedle kognitywistów. Investigationes Linguisticae 23: 106-147.
• Pogonowski, J. (2012). Matematyczne fantazje kognitywistów. W: J. Juchnowski, R. Wiszniowski, redakcja, Współczesna teoria i praktyka badan społecznych i humanistycznych. Torum Wydawnictwo Adam Marszałek, Vol. 2, 117-127.
• Pogonowski, J. (2016). Kontekst przekazu w matematyce. Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia 8, 119-137.
• Pogonowski, J. (2017). On conceptual metaphors in mathematics. Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 9: 85-98.
• Pogonowski, J. (2018). Intuitive explanations of mathematical ideas. Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia 10, 123-137.
• Pogonowski, J. (2019). Extremal axioms. Logical, mathematical and cognitive aspects. Poznam Wydawnictwo Nauk Społecznych i Humanistycznych UAM.
• Pogonowski, J. (2021). Poznanie geometryczne z kognitywnego punktu widzenia. Recenzja książki Hohol 2020. Zagadnienia Filozoficzne w Nauce (w druku).
• Scanlan, M. (1991). Who were the American Postulate Theorists? The Journal ofSymbolic Logic 56 (3): 981-1002.
• Scanlan, M. (2003). American Postulate Theorists and Alfred Tarski. History and Philosophy of Logic 24: 307-325.
• Shapiro, S., editor, (2005). Philosophy of mathematics and logic. Oxford: Oxford University Press, 236-317.

[/tab]

[/tabs]