Elżbieta Drozdowska: Czy mechanika kwantowa wymaga zmiany logiki?

Elżbieta Drozdowska: Czy mechanika kwantowa wymaga zmiany logiki?

Jednym z najczęściej przytaczanych w literaturze argumentów za wprowadzeniem logiki kwantowej jako alternatywnej wobec logiki klasycznej jest analiza zasady nieoznaczoności Heisenberga, pokazująca, że na gruncie mechaniki kwantowej nie obowiązuje jedno z praw logiki klasycznej, mianowicie prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy.

Zasada nieoznaczoności i jej problemy

Prawo to ma następującą postać:

p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

i rozumiemy je tak, że jeśli mamy p i alternatywę dwóch możliwości, to zachodzić będzie p i pierwsza z tych możliwości lub p i druga z tych możliwości.

Rozważmy jednak następującą sytuację. Mamy elektron poruszający się w danej przestrzeni wzdłuż osi x, względem której będziemy określać jego położenie. Oś podzielimy na dwie części: x1 i x2 – elektron może się znaleźć w dowolnej z nich. Ustaliliśmy, że pęd elektronu wynosi p1. Możemy więc zapisać:

p1 ∧ (x₁ ∨ x₂) = (p₁ ∧ x₁) ∨ (p₁ ∧ x₂),

czyli skoro pęd wynosi p1, a elektron znajduje się w części x₁ lub w części x₂, to albo pęd wynosi p₁ i elektron znajduje się w części x₁, albo pęd wynosi p₁ i elektron znajduje się w części x₂.

Z punktu widzenia logiki klasycznej zdanie to jest poprawne; co więcej, jest tautologią. Jednak z punktu widzenia mechaniki kwantowej – wcale nie.

Przypomnijmy sobie zasadę nieoznaczoności Heisenberga. Dotyczy ona niektórych par wielkości fizycznych, zwanych sprzężonymi kanonicznie. Wśród nich znajduje się położenie i pęd. Najogólniej rzecz biorąc, stwierdza ona, że jeśli poznamy z pełną dokładnością wartość jednej z wielkości sprzężonych kanonicznie, to wartość drugiej staje się nieoznaczona – niemożliwa do określenia (a nawet: przestaje być określona). Oznacza to, że w momencie pomiaru pędu naszego elektronu jego położenie staje się nieoznaczone: nie możemy ani stwierdzić, że jest on w części x₁, ani że jest w części x₂. Nie jest więc prawdą ani wyrażenie p₁ ∧ x₁, ani wyrażenie p₁ ∧ x₂, a skoro tak, to ich alternatywa jest fałszem. Możemy się co najwyżej zgodzić, że elektron jest w (x₁ ∨ x₂), ponieważ wyczerpuje to wszystkie dostępne możliwości. Prawdą więc będzie jedynie wyrażenie p₁ ∧ (x₁ ∨ x₂).

O ile więc prawdziwa jest lewa strona naszej równości, to prawa okazuje się fałszywa. Równość nie zachodzi, a prawo logiki klasycznej zawodzi w odniesieniu do niektórych zdań mechaniki kwantowej.

Czy to wystarczy, by odrzucić logikę klasyczną w ogóle? Niekoniecznie. Można na przykład bronić jej, wskazując, że zdania p₁, x₁, x₂ nie są zdaniami elementarnymi (np. z powodu trudności z określeniem ich wartości logicznej). Operująca na nich logika kwantowa byłaby tworem o zasięgu lokalnym, ograniczonym do mechaniki kwantowej.

Teza Putnama

Radykalnie odmienne stanowisko zaprezentował Hilary Putnam. W artykule z 1968 r. pt. Is logic empirical? (Czy logika jest empiryczna?), wbrew prawu nagłówków Betteridge’a, udzielił na tytułowe pytanie odpowiedzi pozytywnej i stwierdził, że logika klasyczna upadła, a jedyną prawdziwą logiką jest logika kwantowa.

Putnam stwierdza, że logika jest nauką empiryczną, co oznacza, że jej twierdzenia mogą być weryfikowane empiryczne (przez obserwację, eksperymenty itp.). Podobnie sytuacja ma się z matematyką, a przynajmniej z geometrią. Pokazuje to historia wokół piątego aksjomatu Euklidesa, brzmiącego: „Przez dany punkt nienależący do danej prostej można poprowadzić jedną prostą rozłączną z daną prostą (równoległą do niej)”.

Aksjomat ten przez wieki budził wątpliwości matematyków. Dopiero w XIX w. za sprawą Nikołaja Łobaczewskiego i Georga Riemanna stało się jasne, że można uzyskać niesprzeczną geometrię przez zastąpienie go jego negacją. Uzyskano dwie takie nieklasyczne geometrie – sferyczną (zakładającą, że przez punkt leżący poza prostą nie można poprowadzić żadnej równoległej prostej) i hiperboliczną (w której można poprowadzić co najmniej dwie proste). Z kolei współczesna fizyka, dzięki ogólnej teorii względności, wykazała, że krzywizna przestrzeni w skali wszechświata jest niezerowa (przestrzeń jest zakrzywiona), co oznacza, że geometria naszej przestrzeni w wielkiej skali nie jest euklidesowa.

Putnam stwierdza więc: musimy pogodzić się z tym, że fizyka (a więc badania empiryczne) każe nam odrzucić zdroworozsądkowe i intuicyjne poglądy na naturę przestrzeni. Oznacza to, że rozwój wiedzy empirycznej obalił teorię formalną – pokazał, że wbrew temu, co sądziliśmy, nie opisuje ona rzeczywistości takiej, jaką jest. Geometria jest więc nauką empiryczną.

Podobnie empiryczna jest logika, o czym świadczy np. analiza zasady nieoznaczoności. Tak samo jak badania empiryczne nad ogólną teorią względności każą nam odejść od geometrii euklidesowej, tak też badania empiryczne nad mechaniką kwantową każą nam odejść od logiki klasycznej.

Zagadkowa algebra Boole’a

Na związki fizyki z logiką można spojrzeć też z innej strony. Zastanówmy się najpierw, jaki jest związek między mechaniką klasyczną a klasyczną logiką.

Do opisu układu fizycznego stosowana jest tzw. przestrzeń fazowa, która przedstawia wszystkie możliwe stany, w jakich może się znaleźć układ – każdy punkt w niej przedstawia jeden stan. Z tego zbioru wszystkich możliwych stanów sam układ fizycznie realizuje tylko pewien ich podzbiór.

Z wszystkich podzbiorów przestrzeni fazowej możemy utworzyć zbiór potęgowy (czyli zbiór wszystkich podzbiorów). Zbiór potęgowy wraz z działaniami: sumy zbiorów, iloczynu zbiorów i dopełnienia zbioru, jest algebrą Boole’a – abstrakcyjną strukturą algebraiczną o określonych własnościach.

Idąc dalej, te podzbiory przestrzeni fazowej można potraktować jak zdarzenia losowe klasycznego rachunku prawdopodobieństwa i zdefiniować na nich miarę prawdopodobieństwa. Struktura przestrzeni zdarzeń losowych będzie więc w tym przypadku algebrą Boole’a.

Idąc jeszcze krok dalej, zauważymy, że teoriomnogościowe działania: sumy, iloczyny i dopełnienia zbioru, są analogiczne do logicznych operacji alternatywy, koniunkcji i negacji. Algebra Boole’a jest bowiem modelem klasycznego rachunku zdań.

Tak więc wszystko sprowadza się do algebry Boole’a, struktury matematycznej, która równocześnie odwzorowuje abstrakcyjną strukturę klasycznego rachunku zdań, przestrzeni zdarzeń losowych rachunku prawdopodobieństwa i przestrzeni fazowej klasycznej mechaniki.

Algebra algebrze nierówna

To trojakie zastosowanie algebry Boole’a silnie zaciążyło na sposobie myślenia Johna von Neumanna, węgiersko-amerykańskiego matematyka, który stworzył matematyczny formalizm mechaniki kwantowej. W mechanice kwantowej również istnieje przestrzeń fazowa, jednak jej rolę pełni inna struktura matematyczna, tzw. przestrzeń Hilberta. Działania na podzbiorach klasycznej przestrzeni fazowej przebiegają według reguł opisanych przez algebrę Boole’a. Natomiast w przestrzeni Hilberta opisane są przez algebrę zwaną kratą Hilberta (albo inaczej: kratą ortomodularną). Główna różnica między nimi polega na tym, że algebra Boole’a jest rozdzielna, a krata Hilberta nie – nie obowiązuje w niej prawo rozdzielności, a jedynie słabsze prawo zwane ortomodularnością. (Zwróćmy uwagę, że to właśnie w rozdzielność uderza analiza zasady nieoznaczoności!)

Te matematyczne odkrycia stały się podstawą spekulacji, która później okazała się bardzo płodna: a co jeśli krata Hilberta pełni analogiczną rolę jak algebra Boole’a, lecz nie tylko dla mechaniki kwantowej, ale też dla kwantowej logiki i kwantowego rachunku prawdopodobieństwa?

Von Neumann wraz ze swoim współpracownikiem Garettem Birkhoffem zadał to pytanie w 1936 r. W latach 50. XX w. trafiło ono do szerszego naukowego obiegu. Wkrótce znaleziono odpowiedni kwantowy rachunek logiczny – i to nie jeden, lecz wiele. Następnie znaleziono różne pokrewne kracie Hilberta struktury algebraiczne, skonstruowano kolejne rachunki w językach logiki modalnej (logiki, w której występują dodatkowe dwa funktory modalne: możliwość i konieczność), parakonsystentnej (logiki, która dopuszcza występowanie pewnych sprzeczności), teorii kategorii i in. Zamiast jednej logiki kwantowej dostaliśmy cały gąszcz.

Co z tego wynika dla nas i naszego rozumienia roli logiki w fizyce? Putnam chciał całkowicie obalić logikę klasyczną i zastąpić ją kwantową – wszędzie i zawsze. Tak radykalne stanowisko miało swoje pięć minut, ale nie utrzymało popularności ani nie wytrzymało zderzenia z rzeczywistością. Sam Putnam wycofał się z niego w 1994 r. pod wpływem poważnych trudności wykazanych przez Michaela Redheada.

Współcześnie logika kwantowa to wiele różnych rachunków logicznych, które znajdują zastosowanie w szczegółowych sytuacjach eksperymentalnych, a sam nurt badawczy stanowi interesującą dziedzinę badań na pograniczu matematyki, fizyki, filozofii i rachunku prawdopodobieństwa, a w ostatnim czasie – nawet informatyki kwantowej.

Być może logika kwantowa nie udzieliła nam wglądu w metafizyczną strukturę świata. Ale czy jest to jej zadanie? I bez tego jest cenna poznawczo sama w sobie.

=====

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2022 nr 1 (43), s. 23–25. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Elżbieta Drozdowska: Czy mechanika kwantowa wymaga zmiany logiki?