Kamień i liczba. Między matematyką a fizyką – Zbigniew Klimek

Książka ta nie jest klasycznym podręcznikiem, nie stawia sobie też wygórowanych ambicji ścisłości. Nie jest poradnikiem w rodzaju „jak w pięć minut opanować sto zadań”, nie jest też „rozmową z własnym chomikiem o czarnych dziurach”. Jest raczej książką do uważnego czytania. Jej zadanie polega na pokazaniu wzajemnego przenikania się dwóch dziedzin: matematyki i fizyki.

Kamień i liczba
Między matematyką a fizyką

Zbigniew Klimek
Oficyna Wydawnicza Impuls, Kraków 2018, ss. 674
ISBN: 978-83-8095-406-9

[tabs]
[tab title=”Opis książki”]

Książka ta nie jest klasycznym podręcznikiem, nie stawia sobie też wygórowanych ambicji ścisłości. Nie jest poradnikiem w rodzaju „jak w pięć minut opanować sto zadań”, nie jest też „rozmową z własnym chomikiem o czarnych dziurach”. Jest raczej książką do uważnego czytania. Jej zadanie polega na pokazaniu wzajemnego przenikania się dwóch dziedzin: matematyki i fizyki. Próbuje wreszcie zerwać z błędnym przekonaniem, albo raczej modą, że każdy wzór, jaki pojawia się w książce, spycha ją do makulaturowego śmietnika. Choć lektura książki nie wymaga specjalnej znajomości nauk ścisłych, łatwo zauważyć, że wraz z kolejnymi rozdziałami rosną wymagania, jakie stawiam przed czytelnikiem: zaczynając od „zwykłych” działań na liczbach, przechodzimy razem przez wektory, formy, tensory, aż po szczegóły dotyczące ruchów planet. Gdzieś po drodze zahaczamy o teorię granic i rachunek różniczkowy, przy okazji nie stroniąc od uwag historycznych.

Cóż, prawdziwy przekładaniec…

Wybór zagadnień dokonany w książce jest, oczywiście, bardzo subiektywny. Jednym kwestiom autor poświęcił nieproporcjonalnie dużo miejsca, podczas gdy inne potraktował pobieżnie. Przykładowo, stosunkowo dużo czasu oddał Keplerowi, a spośród krzywych stożkowych, to elipsa zagrała pierwsze skrzypce. Z drugiej strony, to że pominął tak ważne zagadnienia jak opis grawitacji albo elektromagnetyzmu w języku pól, wciąż nie daje mu spokoju. Jednak takie dylematy pojawiają się zawsze gdy trzeba wybierać.

Na końcu każdego rozdziału umieścił po kilka zadań. Ich rozwiązanie nie jest konieczne do dalszej lektury, raczej mają stanowić „rozrywkę”. Niektóre z tych zadań, szczególnie te o elipsie, mają na celu rozwinięcie tematu, a więc pokazanie tego czego nie udało się pokazać w tekście zasadniczym.

[/tab]
[tab title=”Spis treści”]

Wstęp ZAMEK

Rozdział 1 WZORY, CZYLI OPOWIEŚĆ O CIEKNĄCYM KRANIE

1. Kran
2. Przekształcanie wzorów
3. Badania naukowe
4. Funkcje
5. Prawa arytmetyki
6. Arytmetyka i algebra

Dodatek 1.1. Odcinek razy odcinek równa się pole… – ale nie zawsze

Zadania

Rozdział 2 POMIAR, CZYLI DZIURY NA OSI LICZBOWEJ

1. Mierzenie długości
2. Odcinki współmierne

Dodatek 2.1. Podział odcinka

3. PogońzaNOM-em
4. Wzór

Dodatek 2.2. Dowód „oczywisty”

Zadania

Rozdział 3 PRZESTRZEŃ, CZYLI MATEMATYKA POŁOŻENIA

1. Wymiar
2. Położenie
3. Wektory
4. Algebra wektorów
5. Wektor razy wektor

Dodatek 3.1. Wektory i macierze (dwa wymiary)

6. Położenie; Drugie podejście
7. Żart Einsteina

Dodatek 3.2. Współrzędne i wskaźniki

Zadania

Rozdział 4 RUCH – CO TAK NAPRAWDĘ SIĘ PORUSZA?

1. Ruchome wektory
2. Problem Kopernika
3. Galileusz czy Kartezjusz?
4. Względnośćruchu
5. Wiadro Newtona
6. Dziwna koincydencja
7. Przyspieszenie
8. Pochodna
9. Granice
10. Achilles iżółw

Dodatek 4.1. Prawo dźwigni

Dodatek 4.2. O pewnych sumach

11. Całka

Zadania

Rozdział 5 OKRĄG, CZYLI JAK ZMIERZYĆ ŚWIAT

1. Matematyka okręgu; odsłona pierwsza
2. Matematyka okręgu; odsłona druga
3. Matematyka okręgu; odsłona trzecia
4. Do czego to służy?
5. Dwie pieczenie na jednym ogniu
6. Iloczyn wektorowy
7. Po drugiej stronie lustra
8. Iloczyn wektorowy po raz drugi
9. Pola i objętości inaczej
10. Musimy to zrobić
11. Kula

Zadania

Rozdział 6 RÓWNIA POCHYŁA  – OD PIERWSZEGO AKCELERATORA DO STOŻKOWYCH

1. Równia pochyła
2. Włoski projekt Manhattan
3. Parabola

Dodatek 6.1. Trójmian i jego pierwiastki – geometrycznie

Dodatek 6.2. Znak tangensa w ćwiartkach układu współrzędnych

4. Przekroje Apoloniusza

Dodatek 6.3. Elipsa

Zadania

Rozdział 7 KEPLER  – KOLEJNE WCIELENIE  PITAGORASA  

1. Skomplikowany świat Ptolemeusza
2. Ekwant nie daje za wygraną

Dodatek 7.1. Kepler leci na Marsa

3. Wielościany foremne

Dodatek 7.2. Skąd wiadomo, jak daleko jest do planet?

4. Lista przebojów
5. Od muzyki do matematyki

Zadania

Rozdział 8 OSCYLATOR, CZYLI TAM I Z POWROTEM  

1. Trygonometria ruchu okresowego
2. Fale

Dodatek 8.1. Funkcja parzysta i nieparzysta

3. Duchy
4. Huygens
5. Interferencja
6. Powrót Apoloniusza
7. Dwa szczeknię cia psa

Zadania

Rozdział 9 NEWTON – STOJĄC NA RAMIONACH OLBRZYMÓW

1. Masa i siła
2. Prawa ruchu
3. Czasoprzestrzeńi kraina wiązek
4. Pierwsze prawo jest niezależne od drugiego
5. Grawitacja

Dodatek 9.1.

(1) Jak Newton wyznaczył wzór Huygensa

(2) Jak Newton wyznaczył przyspieszenie ziemskie

6. (Nie)przypadkowa zbieżność
7. Dowód

Dodatek 9.2. Moment pędu

Dodatek 9.3. Pole ~ (Długość)2

Zadania

ZAKOŃCZENIE

Rozwiązania zadań

Indeks

[/tab]
[tab title=”Fragment – Zamek”]

Oto przed nami samotna wyspa, dryfująca na bezkresnych wodach oceanu. W samym środku gęstego, ciemnego lasu porastającego wyspę stoi okazały zamek. Osobliwy to zamek, nie posiada bowiem ani okien, ani drzwi. Światło dostaje się tam przez wąskie zygzakowate szczeliny, skonstruowane tak, by nie dało się dojrzeć niczego co dzieje się na zewnątrz. Mieszkańcami zamku są zwykli ludzie, którzy nie potrafi ą odpowiedzieć na pytanie od kiedy go zamieszkują. Właściwie, panuje powszechna opinia, że są tam niemal od zawsze, od wielu pokoleń. Nie zdając sobie sprawy z istnienia świata poza zamkiem, mieszkańcy wierzą, że cały świat to właśnie ich zamek, w jego murach czują się bezpiecznie.

Osobliwością zamku jest tak duża ilość komnat, lochów, korytarzy i różnych ciemnych zakamarków, że tylko nieliczna grupa mieszkańców potrafi wszystkie je spamiętać. Od wieków ci, którzy znali tajemnice zamku tworzyli zamkniętą grupę starszyzny, tak zwanych Mędrców. Aby stać się Mędrcem, trzeba było wielu lat studiów i wyrzeczeń. A studia były to ciężkie – młodzi adepci wprawiali się w sztuce rozróżniania 47 tysięcy różnych dźwięków jakie docierały do zamku z zewnątrz. Musieli opanować 15 tysięcy odcieni światła, które przez szczeliny dostawało się do środka zamku. Ich słownik zawierał więc takie pojęcia jak burza, deszcz, dzień, noc, itd. – by wymienić tylko te podstawowe terminy naukowe ludzi zamku.

Najbardziej wyrafi nowaną nauką jaką uprawiała tylko garstka spośród Mędrców była Teoria Świata Zewnętrznego, w skrócie TSW. Stare księgi podają, że tylko pięć osób spośród 14 tysięcy mieszkańców zamku było wtajemniczonych w TSW. Nie wiemy zatem nic o szczegółach tej teorii. Legenda głosi, że ci którzy znali TSW byli w posiadaniu pewnej ściśle strzeżonej tajemnicy, głoszącej, że tak naprawdę ich świat, nie ogranicza się tylko do murów zamku. Wszelkie odgłosy, zapachy i gra świateł nie są więc „wytworem ścian”, jak sądzi większość, ale pochodzą z zewnątrz – są echem jakiegoś ogromnego świata, znajdującego się za murami zamku.

W ciągu długiej historii wiedza nagromadzona przez mieszkańców zamku pokaźnie się rozrosła. Powstały zwalczające się szkoły. Opasłe tomy zalegające w bibliotekach, coraz więcej specjalistów badających budowę zamku, wreszcie duży wybór konkurencyjnych TSW, doprowadziła do sporego zamętu wśród naukowców zamku. Spośród najbardziej fantastycznych teorii opisujących hipotetyczny świat zewnętrzny jedna wzbudziła największe nadzieje. Według tej teorii, na zewnątrz zamku, musi istnieć powietrze, woda i twardy grunt, po którym można swobodnie chodzić, a więc niezależny świat nadający się do życia.

Kilku śmiałków, którym nie wystarczało już dotychczasowe, nieciekawe egzystowanie w murach zamku, zdobwa się na desperacki czyn: – Zróbmy dziurę w murze! – krzyknął najodważniejszy. I wyszli…

Tu kończy się, a może zaczyna, historia mieszkańców mrocznego zamku. Trudno byłoby opisać zdziwienie bohaterów, którzy opuścili zamek. Zobaczyli bowiem rzeczy, których nie doświadczali w najśmielszych snach. Zamek, który wewnątrz, swą wielkością, obejmował cały znany im świat, na tle wyspy, okazał się mały. Świat, w którym były drzewa, rzeki, góry, słońce i gwiazdy przerósł ich najśmielsze oczekiwania. Dotychczasowe wytwory nauki i sztuki zbladły w porównaniu z nową rzeczywistością.

Takie wychodzenie z ciemnego zamku jest udziałem każdego z nas zawsze wtedy, gdy burzymy mur niezrozumienia jakiegoś problemu albo gdy nabieramy nowej umiejętności. Ileż to razy dało się słyszeć: – Aha!

Teraz rozumiem! Tak, tak, to właśnie ten moment. Ileż radości sprawiła nam pierwsza przejażdżka na rowerze, prawidłowo rozwiązane zadanie, nagłe oświecenie.

Opowiedziałem tę historię, by przynajmniej spróbować zmierzyć się z pytaniem – zarzutem, często stawianym przez uczniów – po co uczyć się historii, geografii, matematyki czy fizyki? Albo – po co w ogóle uprawić naukę? Uczniom można odpowiedzieć krótko – żeby zdać egzamin albo dla ocen. Można też odpowiedzieć pytaniem – po co słuchać muzyki, albo uczyć się pływać? Każda nowa umiejętność otwiera przed nami nowe perspektywy, wiele z nich dostarcza nam przyjemności. Wielogodzinne ćwiczenia, żmudna nauka gry na instrumencie najwyraźniej mają sens skoro tyle ludzi to robi.

– Ale to takie trudne…

– mówią inni. No cóż, coś co jest łatwe bywa często nudne. Można godzinami zjeżdżać na nartach, ale schodzenie po schodach, które jest o wiele łatwiejsze, nie jest już tak fascynujące.

Zdobywanie wiedzy to nie to samo co gromadzenie jej. Można uczyć się na pamięć wiersza kompletnie nie rozumiejąc o czym mówi. Można wiele pamiętać, ale niewiele rozumieć. Znajomość łacińskich nazw ptaków nie oznacza znajomości trybu życia tych ptaków i zależności jakie panują między poszczególnymi gatunkami.

Czy fizyka jest trudną dziedziną? I tak i nie. Jeśli ograniczyć się do przyswojenia sobie wiedzy podręcznikowej, a więc gotowych informacji, które już ktoś kiedyś umiejętnie poukładał, odpowiedź brzmi – nie. Nie jest wcale trudniejsza od zrozumienia wiersza, opowiadania albo przyswojenia przebiegu historycznej bitwy. Naturalnie trzeba się trochę natrudzić żeby zrozumieć istotę różnych zjawisk czy idee zawarte w twierdzeniach matematycznych. Jeśli jesteście uczniami, to wiecie, że bez kilkakrotnego przeczytania zadania tekstowego trudno go zrozumieć, nie mówiąc o jego rozwiązaniu. Każdy z nas inaczej i w różnym tempie przyswaja sobie wiedzę. Nie zrażajmy się tym, że nie rozumiemy tego co inni pojmują w mig – nie trzeba rozumieć wszystkiego na raz, już dziś.

Mój nauczyciel fizyki w szkole średniej wspominał kolegę, który zrozumiał zasady dynamiki Newtona dopiero po skończeniu studiów z fizyki. Wspomnę tylko, że te zasady omawiane są wcześnie, bo już w gimnazjum.

Jeśli nauka, a w szczególności fizyka, zaczyna wymagać od nas twórczego myślenia, wówczas rzeczywiście staje się trudniejsza – jednocześnie coraz bardziej fascynująca.[…]

[/tab]
[/tabs]