Struktura matematyki – Marcin Czakon

Celem jaki stawiamy przed tą książką,jest chęć zrozumienia, co to znaczy, że matematyka jest nauką o strukturach. Osiągnięcie tego celu będzie zależało od zrozumienia tego, co kryje się pod pojęciem „struktury” w obrębie matematyki.

Pierwszy sposób rozumienia pojęcia struktury matematycznej to struktura-jako-teoria, albo inaczej struktura teorii.

Drugi ze sposobów rozumienia pojęcia struktury to struktura-jako-przedmiot, czyli obiekt badany przez matematykę.

Próbując zrozumieć stanowisko strukturalistyczne w obrębie filozofii matematyki, zbadamy,jakie właściwe znaczenie ma każde z tych pojęć. Postaramy się ustalić, jakie warunki powinny zostać nałożone na te pojęcia, żeby mówiąc o strukturze matematyki, nie posługiwać się pojęciem wieloznacznym a jednocześnie zrealizować wszelkie postulaty, których oczekuje się z metodologicznego punktu widzenia od teorii matematycznej.

Struktura matematyki

[tabs]
[tab title=”Spis treści”]

Spis treści

Wstęp   |    11

1. Pierwsza metoda aksjomatyczna |    21
   • Uzasadnianie bezpośrednie a pośrednie |    22
   • Metoda aksjomatyczna Arystotelesa |    25
   • Geometria Euklidesa |    35
   • Braki geometrii Euklidesa |    44
   • Geometrie nieeuklidesowe |    48
2. Droga do nowoczesnej metody aksjornatycznej |    55
   • Algebra abstrakcyjna |    56
   • Redukcja klasycznej matematyki |    60
   • Aksjomatyzacja liczb naturalnych |    69
   • Intuicyjna teoria mnogości |    74
   • Aksjomatyzacja teorii mnogości |    77
   • Logika matematyczna |    81
3. Nowoczesna metoda aksjomatyczna |    87
   • Etapy rozwoju teorii dedukcyjnej |    88
   • Cechy teorii formalnej |    96
4. Współczesne teorie dedukcyjne |   113
   • Klasyczny rachunek zdań |    114
   • Logika standardowa |    123
   • Teoria mnogości |    132
   • Elementarna teoria mniejszości |    137
   • Geometria euklidesowa Hilberta |    140
5. Strukturalizm matematyczny |   151
   • Źródła strukturalizmu |    152
   • Rodzaje strukturalizmu matematycznego |    156
6. Dowód a prawda |   171
   • Prawda w teorii dedukcyjnej |    172
   • Semantyka teorii dedukcyjnych |    178
   • Niezupełność |    186
   • Strukturalizm hipotetyczny |    194

Zakończenie   |   205

Bibliografia    |   211

Summary   |   220

[/tab]
[tab title=”Wstęp”]

Wstęp

Pytanie o przedmiot matematyki i jego naturę obecne było od samego początku filozoficznego namysłu nad tą dziedziną wiedzy. Matematyka nazywana królową nauk, poza swoją niesamowitą skutecznością i potęgą w wielu praktycznych dziedzinach życia, zawsze inspirowała badania filozoficzne. Niektórzy badacze sądzą, że pytania i odpowiedzi stawiane na gruncie filozofii matematyki odzwierciedlają najważniejsze pytanie i odpowiedzi w filozofii w ogóle. Ta korespondencja między wielkimi metafizycznymi koncepcjami wyjaśniającymi naturę rzeczy a próbą zrozumienia natury przedmiotu matematycznego do dzisiaj stanowi źródło nowych pomysłów filozoficznych. Główne pytanie, na które poszukiwano odpowiedzi od samego początku, dotyczyło sposobu istnienia i poznania liczby jako podstawowego przedmiotu badanego przez matematykę. Ewentualnie obok liczby jako godne zainteresowania stawiano również pewne obiekty geometryczne, takie jak punkty, proste i różne inne figury. Te dwa rodzaje obiektów matematycznych postrzegane były zasadniczo jako pewnego rodzaju byty jednostkowe. Dlatego pytano, w jaki sposób istnieje liczba naturalna 2, czym jest ta liczba, jak możemy ją poznać, jakie ma własności. Podobne pytania stawiano w odniesieniu do figur geometrycznych: jak istnieje trójkąt, jakie ma własności i skąd o tym wiemy.

W drugiej połowie XX wieku, za sprawą niespotykanego do tej pory rozwoju metody matematycznej, doszło do zmiany sposobu postrzegania przedmiotu matematyki. Pojawiły się koncepcje, które głoszą, że przedmiotem zainteresowania matematyki nie są pojedyncze obiekty, takie jak liczby czy figury geometryczne, ale struktury matematyczne, czyli układy pewnych obiektów połączonych danymi relacjami. Zgodnie z tym poglądem, nazywanym strukturalizmem matematycznym, matematyka jako całość oraz każda z jej dziedzin osobno bada pewne struktury.

Poglądy współczesnego strukturalizmu w filozofii matematyki stanowią inspirację do rozważań prowadzonych w niniejszej pracy. Celem, jaki stawiamy przed tą książką, jest chęć zrozumienia, co to znaczy, że matematyka jest nauką o strukturach. Osiągnięcie tego celu będzie zależało od zrozumienia tego, co kryje się pod pojęciem „struktury” w obrębie matematyki.

Pojęcie „struktura matematyki” może mieć różne charakterystyki. Strukturę matematyki można rozumieć podobnie jak pojmuje się strukturę dowolnej teorii naukowej. Taka struktura odnosi się do wzajemnych powiązań i zależności między poszczególnymi zdaniami, tworzącymi pewną całość. Każda teoria naukowa jest zbudowana z twierdzeń, które tworzą uzasadnienie dla innych, a te z kolei stają się przesłankami dla kolejnych. Struktura interpretowana w ten sposób składa się zatem z hierarchicznie uporządkowanych zdań, które powiązane są wzajemnymi relacjami. W matematyce zdania początkowe zwykło nazywać się aksjomatami, a wyprowadzone z nich wyrażenia to twierdzenia. Tym, co je łączy, jest związek wynikania. Aksjomaty stanowią przesłanki wnioskowań, których konkluzją są twierdzenia. W tym sensie matematyka od zawsze uchodziła za naukę wzorcową dla innych dziedzin nauki. Struktura matematyki, tak rozumiana, była ideałem, do którego dążyli uczeni.

Struktura matematyki może być również rozumiana w inny sposób -jako przedmiot zainteresowania sam w sobie. Struktury rozumiane w ten sposób badane są przez wiele różnych nauk. Socjologia bada strukturę społeczną, czyli różne zależności i powiązania między poszczególnymi jednostkami w społeczeństwie. Struktura jest tutaj traktowana jak abstrakcyjny byt mający pewne własności. Politolog bada strukturę władzy i zależności między jej reprezentantami. Przedstawiciel nauk o organizacji i zarządzaniu interesuje się strukturą przedsiębiorstwa i dostarcza jej naukowego opisu. W ten sposób można rozumieć także przedmiot matematyczny. Na przykład strukturą może być przestrzeń w geometrii Euklidesa, gdzie punkty znajdują się w pewnych wzajemnych relacjach. Matematyka, jak każda inna teoria, może opisać badaną przez siebie strukturę poprawnie lub nie. Tutaj struktura rozumiana jest jako przedmiot badania, a nie jako układ powiązanych twierdzeń. Tak interpretowana struktura jest tym samym dla matematyki, czym dla biologii jest organizm żywy, dla fizyki materia i energia, a dla teologii pisma natchnione. W ten właśnie sposób strukturę rozumieją zwolennicy strukturalizmu w filozofii matematyki.

Pierwszy sposób rozumienia pojęcia struktury matematycznej to struktura-jako-teoria, albo inaczej struktura teorii. Przykładem takiej struktury jest proponowana w Elementach teoria geometrii Euklidesa, z wyraźnie wymienionymi aksjomatami i uzasadnionymi na ich podstawie twierdzeniami. Innym przykładem może być aksjomatycznie rozumiana arytmetyka liczb naturalnych, którą zaproponował Peano (1889). Drugi ze sposobów rozumienia pojęcia struktury to struktura-jako-przedmiot, czyli obiekt badany przez matematykę. Przykładem takiej struktury jest euklidesowa przestrzeń geometryczna, wraz ze swoimi własnościami wyznaczanymi przez relacje między danymi obiektami geometrycznymi. Taką strukturą będzie również układ liczb naturalnych i wzajemnych ich powiązań. Próbując zrozumieć stanowisko strukturalistyczne w obrębie filozofii matematyki, zbadamy, jakie właściwe znaczenie ma każde z tych pojęć. Postaramy się ustalić, jakie warunki powinny zostać nałożone na te pojęcia, żeby mówiąc o strukturze matematyki, nie posługiwać się pojęciem wieloznacznym, a jednocześnie zrealizować wszelkie postulaty, których oczekuje się z metodologicznego punktu widzenia od teorii matematycznej.

W tym celu skupimy nasze rozważania na zagadnieniu metody aksjomatycznej, która jest właściwą i wydaje się, że jedyną metodą matematyki. Jak wiadomo, metoda danej nauki powinna być tak dobrana, żeby adekwatnie opisać badany przedmiot w każdym z interesujących nas aspektów. Cel ten zostanie realizowany w sześciu krokach, które zostały odzwierciedlone w strukturze tej pracy. Zatem książka jest podzielona na sześć głównych rozdziałów.

W rozdziale 1, który ma tytuł „Pierwsza metoda aksjomatyczna”, omówiona zostanie starożytna koncepcja metody aksjomatycznej, zaproponowana przez Platona i wyraźnie sformułowana przez Arystotelesa. Przyjrzymy się warunkom, jakie nakładane są na badania prowadzone za pomocą tej metody oraz oczekiwaniom, jakie pokładali w niej jej twórcy. W celu zobrazowania realizacji tych postulatów omówimy teorię geometrii, opisaną w Elementach przez Euklidesa. Jest to jedna z najbardziej znanych teorii dedukcyjnych, próbująca zrealizować przedstawione przez Arystotelesa postulaty. Jak wiadomo, Elementy uchodziły za dzieło wzorcowe pod względem realizacji metody aksjomatycznej przez ponad 2000 lat. W tym rozdziale zwrócimy również uwagę, na pewne braki oraz błędy, które obecne były od samego początku w tej teorii. Od razu zaznaczamy, że świadomość ich istnienia i sposobu wyeliminowania rozwijała się na przestrzeni wielu lat. Rozważania te doprowadzą nas do jednego z wielu przełomowych momentów w nowoczesnej historii matematyki, czyli odkrycia geometrii innych niż euklidesowa, nazywanych geometriami nieeuklidesowymi.

Rozdział 1 wprowadza również kilka bardzo podstawowych pojęć, takich jak zagadnienie uzasadnienia pośredniego i bezpośredniego, a także wnioskowania, w szczególności wnioskowania hipotetycznego i kategorycznego, które wykorzystywane są w dalszych fragmentach tej pracy.

W rozdziale 2, zatytułowanym „Droga do nowoczesnej metody aksjomatycznej ”, zaprezentowane zostaną kluczowe z perspektywy rozwoju metody aksjomatycznej osiągnięcia matematyki. W pierwszej kolejności omówimy zagadnienie świadomego sformułowania nowej dziedziny matematycznej, którą jest algebra abstrakcyjna. Jak wiadomo, algebra mówi o pewnych formalnych relacjach między dowolnymi obiektami. Tego rodzaju wizja teorii matematycznej jest bliska koncepcji strukturalistycznej. Następnie przedyskutujemy zagadnienie redukcji matematyki klasycznej do arytmetyki liczb naturalnych. Jak wiadomo, redukcja ta była jednym z ważniejszych zagadnień w związku z licznymi sprzecznościami, które pojawiały się w ramach analizy matematycznej. W tym rozdziale poruszymy również zagadnienie aksjomatyzacji arytmetyki liczb naturalnych, prezentując aksjomatyczną teorią PA.

Rozdział 2 porusza również zagadnienie powstania i rozwoju teorii mnogości. W XIX w. ta dziedzina matematyki była całkowitą nowością, a jak wiadomo, jej powstanie zmieniło sposób patrzenia na podstawy matematyki oraz metodę aksjomatyczną w ogóle. Dlatego krótko przyjrzymy się redukcji liczb naturalnych do zbiorów, a także koncepcji zbioru w intuicyjnej teorii mnogości. Następnie powiemy kilka zdań na temat aksjomatyzacji tej teorii. Pewien aksjomatyczny wariant teorii mnogości zostanie natomiast omówiony w kolejnych rozdziałach. Ostatecznie w tym rozdziale przedyskutujemy zagadnienie powstania logiki matematycznej, które okazało się podstawowe dla sformułowania nowoczesnej metody aksjomatycznej.

W rozdziale 3, zatytułowanym „Nowoczesna metoda aksjomatyczna”, poruszymy zagadnienie własności nowoczesnej metody aksjomatycznej. Rozdział ten podzielony jest na dwie zasadnicze części. W pierwszej prezentujemy koncepcję trójetapowego rozwoju nauk dedukcyjnych, wykorzystując poglądy K. Ajdukiewicza. Finalne stadium rozwoju nauk dedukcyjnych cechuje się całkowicie sformalizowanym, abstrakcyjnym i aksjomatyczny m rozumieniem teorii matematycznej, który jest właściwy dla nowoczesnej metody aksjomatycznej. Rozważania te skontrastują pierwszą metodę aksjomatyczną od metody nowoczesnej. Rozróżnienie to będzie tak wyraźne, że czasami mówi się o dwóch paradygmatach matematyki. W drugiej części tego rozdziału wymienione zostaną cechy właściwe dla współczesnej metody aksjomatycznej. W pierwszej kolejności zwrócimy uwagę na zagadnienie sztucznego, formalnego języka, którym każda z teorii dedukcyjnych powinna się posługiwać. Następnie rozważymy pojęcie zbioru aksjomatów oraz warunków, które nakładane są na ten zbiór. Przedstawimy również zagadnienie reguł procedury dowodowej, które nazywamy regułami dowodzenia. W tym miejscu pojawi się definicja dowodu, która towarzyszyć nam będzie w rozważaniach prowadzonych w ramach rozróżnienia pojęć struktury-jako teorii oraz struktury-jako-przedmiotu. W rozdziale tym omówione zostaną również pewne podstawowe zagadnienia związane z poprawnym konstruowaniem definicji terminów wtórnych w nowoczesnych teoriach dedukcyjnych.

Kolejny, 4 rozdział, zatytułowany „Współczesne teorie dedukcyjne”, skupia się na przedstawieniu przykładów teorii zbudowanych według wskazań nowoczesnej metody aksjomatycznej. W rozdziale tym każda z przykładowych teorii omówiona jest w tym samym kluczu: najpierw sztuczny język i definicja poprawnie zbudowanego wyrażenia, następnie zbiór aksjomatów oraz reguł dowodzenia, a ostatecznie pewne uwagi odnośnie do definicji oraz własności prezentowanych teorii. Jako przykład takiej teorii przedstawiony został klasyczny rachunek zdań, który nazywamy teorią KRZ. Następnie zaprezentujemy logikę standardową, czyli rachunek predykatów nabudowany na teorii KRZ, który oznaczamy skrótem LPR. W dalszej części pokażemy pewien wariant aksjomatycznie ujętej teorii mnogości, oznaczony symbolem ZFC. Zaprezentowania zostanie również pewna bardzo prosta teoria, która nazywana jest elementarną teorią mniejszości, oznaczona przez symbole ETM. Teoria ta służyć będzie w dalszych rozważaniach, jako przykładowa teoria, zbudowana w nowoczesny sposób. Rozdział ten zostanie zakończony prezentacją aksjomatów współcześnie zrekonstruowanej geometrii euklidesowej. Prezentacja tej ostatniej teorii będzie nieznacznie odbiegała od poprzednich, ponieważ nie wprowadzimy w tym miejscu sztucznego, formalnego języka, który zaciemniłby tylko sens tych rozważań. Nowoczesna teoria geometrii euklidesowej zostanie skonfrontowana z tym, co zostało powiedziane o geometrii pochodzącej z Elementów Euklidesa w rozdziale 1.

Rozdział 5, zatytułowany „Strukturalizm matematyczny”, zajmuje się omówieniem poglądów strukturalistycznych obecnych we współczesnej filozofii matematyki. Rozważania prowadzone w poprzednich rozdziałach wyraźnie wskazują, że istnieje kontrowersja między nowoczesną metodą aksjomatyczną a metodą proponowaną przez Arystotelesa. Ta niezgodność ogniskuje się w problemie prawdziwości i oczywistości aksjomatów. Stanowisko strukturalistyczne przedstawione zostanie w tym rozdziale jako próba uzgodnienia tych dwóch skrajnych punktów widzenia. Z tego powodu w pierwszej kolejności zostaną omówione bezpośrednie źródła strukturalizmu, w tym zwłaszcza problem wieloredukcji, wyraźnie zaznaczony przez P. Benacerrafa, oraz spór toczony przed laty między G. Frege a D. Hilbertem. Następnie będą zaprezentowane wybrane poglądy strukturalistyczne, które zakwalifikowane zostały do trzech różnych kategorii. Przedstawiony będzie także strukturalizm ontologiczny pozytywny, w tym przede wszystkim strukturalizm antę rem S. Shapiro oraz strukturalizm in re M. Resnika. Omówione też będą strukturalizmy ontologiczne, ale negatywne, w tym zwłaszcza koncepcja strukturalizmu modalnego G. Hellmana. Na końcu omówimy strukturalizm nieontologiczny, który pojawił się w konsekwencji zmiany poglądów przez Resnika i może być traktowany jako najnowsza koncepcja tego rodzaju. Prezentacja tych stanowisk będzie się koncentrować na ich stosunku do poruszanych do tej pory zagadnień, w tym zwłaszcza do rozważanych dwóch znaczeń pojęcia struktury, czyli struktury-jako-teorii oraz struktury-jako-przedmiotu.

Rozdział 6, zatytułowany „Dowód a prawda w matematyce”, poświęcony zostanie przedstawieniu ostatecznego rozwiązania zagadnienia dwuznaczności pojęcia struktury matematycznej. W pierwszej kolejności przedstawimy, w jaki sposób współczesna metamatematyka rozumie pojęcie prawdy. Pojęcie to zostanie uznane jako specyficzny wariant pojęcia spełniania, czyli zyska specjalną techniczną definicję. Pokażemy, że niektórzy badacze pojęcie to uznają za zbliżone do klasycznego sposobu rozumienia tego terminu. W tym miejscu pojawi się również specyficzne dla teorii matematycznych pojęcie modelu. W ramach tego pojęcia rozważymy ewentualną możliwość utożsamienia go z pojęciem struktury matematycznej, w znaczeniu struktury-jako-przedmiotu.

W tym samym rozdziale przedstawimy również pewną oryginalną koncepcję semantyki dla teorii dedukcyjnych, zaproponowaną przez M. Tkaczyka (zob. 2009). Będzie to co prawda koncepcja zaproponowana dla rachunków logicznych, wyróżniająca semantykę formalną oraz semantykę opisową, ale nasze rozważania poprowadzone będą w kierunku założenia, że dla teorii matematycznych te dwie semantyki są równoznaczne. W związku z tym założeniem, pojęcia struktury-jako-teorii oraz struktury-jako-przedmiotu zostaną utożsamione i uznane za równoznaczne. W dalszej kolejności prawomocność tego utożsamienia będzie dyskutowana, aż do momentu, w którym okaże się, iż nie jest ono możliwe do utrzymania. Na pewnym najbardziej podstawowym poziomie teoria matematyczna jako struktura oraz przedmiot, który powinna ona opisywać, również utożsamiany ze strukturą, okazują się być czymś różnym i w pewnym zakresie niepokrywającym się. Informują nas o tym przede wszystkim pewne twierdzenia, nazywane twierdzeniami limitacyjnymi. W związku z tym aktualne pozostanie pytanie odnoszące się do zagadnienia prawdziwości aksjomatów w kontekście nowoczesnej metody aksjomatycznej.

W ostatnim paragrafie rozdziału 6 przedstawiona zostanie koncepcja strukturalizmu hipotetycznego. Koncepcja ta może być postrzegana jako pewnego rodzaju próba złagodzenia konfliktu między nowoczesną metodą aksjomatyczną, utożsamioną z pojęciem struktury-jako-teorii, a prawdziwością twierdzeń matematycznych, która związana jest z pojęciem struktury jako-przedmiotu. Zaproponujemy pewien wariant strukturalizmu matematycznego, w którym rozważania matematyczne prowadzone są z perspektywy struktur-jako-teorii, tym samym czyniąc zadość wymogom nowoczesnej metody aksjomatycznej i jednocześnie nie wykluczając z obszaru zainteresowania matematyki perspektywy struktury-jako-przedmiotu. W proponowanej koncepcji matematyka zbliżona zostaje do pewnego rodzaju bardzo obszernego katalogu poprawnych wnioskowań dedukcyjnych, które stanowią bazę gotową do wykorzystania w dowolnej dziedzinie nauki.

W tym miejscu, jeszcze raz, zwracamy uwagę na cel tej pracy. Zadaniem, które chcemy wykonać, jest próba zrozumienia pojęcia struktury matematycznej. W tym celu dokonujemy rozróżnienia na dwa sposoby rozumienia tego terminu i w tej perspektywie prowadzimy badanie teorii matematycznych oraz metody aksjomatycznej jako właściwej dla matematyki. Zatem to krótkie opracowanie odpowiada na pytania: Co to jest struktura? Jak należy rozumieć pojęcie struktury w obrębie matematyki? Jakie znaczenia ma ten termin? Niejako przy okazji tych rozważań, jakby na marginesie, wygłaszane są pewne uwagi odnośnie do tego, czy przedmiotem matematyki jest struktura właśnie w rozumieniu struktury-jako-przedmiotu. Książka ta nie powinna być traktowana jako udzielająca odpowiedzi na pytanie odnośnie do tego, czy przedmiotem badanym przez matematykę są struktury. Zagadnienie to, sprowadzające się ostatecznie do problemu wyjaśnienia natury obiektów matematycznych, pozostaje otwarte i na kartach tej pracy nie jest rozstrzygane. Co więcej, proponowana tutaj koncepcja strukturalizmu hipotetycznego zasadniczo jest uniwersalna pod tym względem i może obowiązywać niezależnie od tego, jaka jest faktycznie natura obiektów matematycznych.

[/tab]
[/tabs]